Algebra
Somme, prodotti, sistemi e relazioni tra coordinate.
Matematica · Strutture e trasformazioni
Algebra lineare
L’algebra lineare studia oggetti che si possono sommare e scalare, e le trasformazioni che rispettano queste operazioni. Le matrici ne sono la rappresentazione numerica: descrivono dati, sistemi di equazioni e movimenti geometrici con lo stesso linguaggio.
Un linguaggio per combinare direzioni
Un vettore non è soltanto una freccia: è un elemento di uno spazio in cui hanno senso somma e moltiplicazione per uno scalare. Una trasformazione è lineare quando conserva entrambe le operazioni.
Geometria
Direzioni, proiezioni, rotazioni, aree e cambi di base.
Calcolo
Algoritmi che trasformano matrici in informazioni utilizzabili.
Combinazioni lineari, span, indipendenza e base
Una combinazione lineare di vettori v₁,…,vₖ ha la forma
Span
L’insieme di tutte le combinazioni lineari generate dai vettori.
Indipendenza
Nessun vettore è combinazione degli altri; l’unico modo di ottenere zero usa tutti coefficienti nulli.
Base
Un insieme indipendente che genera tutto lo spazio. Ogni vettore ha coordinate uniche rispetto alla base.
Dimensione
Il numero di vettori di una base; misura quante direzioni indipendenti possiede lo spazio.
Coordinate ≠ vettore. Il vettore è l’oggetto; la colonna di numeri dipende dalla base scelta per descriverlo.
Una matrice rappresenta una trasformazione lineare
Una matrice A di dimensione m × n riceve vettori con n coordinate e produce vettori con m coordinate. La colonna j di A è l’immagine del j-esimo vettore della base canonica.
Somma e prodotto per scalare agiscono elemento per elemento. Il prodotto tra matrici, invece, rappresenta la composizione di trasformazioni: in ABx = A(Bx), agisce prima B e poi A.
Laboratorio 1: costruisci il prodotto riga per colonna
Modifica valori e dimensioni, poi avanza: per ogni cella cᵢⱼ il laboratorio evidenzia la riga i di A, la colonna j di B e aggiunge un prodotto alla volta.
Prodotto scalare corrente
cᵢⱼ = riga i · colonna j
riga di A
colonna di B
fattori correnti
cella di C
Condizione di compatibilità. Se A è m × n e B è n × p, allora AB esiste ed è m × p. In generale BA può non esistere, oppure esistere ma essere diverso da AB.
Laboratorio 2: guarda una matrice trasformare il piano
Le colonne della matrice indicano dove finiscono i vettori base e₁ ed e₂. Modifica A o trascina il punto blu: griglia, quadrato unitario, area e vettore immagine si aggiornano insieme.
Matrice A
Vettore v
Trasformazioni
- det(A)
- 1
- Fattore d’area
- 1
- Orientamento
- conservato
- Av
- (2; 1)
Il punto blu è trascinabile. Il poligono viola è l’immagine del quadrato unitario.
Determinante, invertibilità e rango
Determinante
Misura il fattore di scala orientato di aree o volumi. Il segno indica se l’orientamento è invertito.
Invertibilità
Per una matrice quadrata, det(A) ≠ 0 equivale a rango pieno, colonne indipendenti e soluzione unica di Ax = b per ogni b.
Rango
È il numero di direzioni indipendenti conservate dalla trasformazione, cioè la dimensione dello spazio delle colonne.
Nucleo
Contiene i vettori mandati in zero. Il teorema rango-nullità afferma rank(A) + nullity(A) = n.
Laboratorio 3: risolvi un sistema con Gauss-Jordan
La matrice aumentata [A|b] contiene tutte le equazioni. Le operazioni elementari sulle righe non cambiano l’insieme delle soluzioni; avanza per vedere pivot, scambi, normalizzazioni ed eliminazioni.
- rank(A)
- —
- rank([A|b])
- —
- Classificazione
- —
- Soluzione
- —
Rouché–Capelli. Il sistema è compatibile se rank(A) = rank([A|b]); se questo rango è anche uguale al numero di incognite, la soluzione è unica, altrimenti esistono parametri liberi.
Costo computazionale delle operazioni principali
| Operazione | Dimensioni | Tempo classico | Memoria risultato |
|---|---|---|---|
| Somma | m × n | Θ(mn) | Θ(mn) |
| Matrice per vettore | (m × n)(n × 1) | Θ(mn) | Θ(m) |
| Prodotto tra matrici | (m × n)(n × p) | Θ(mnp) | Θ(mp) |
| Gauss su matrice quadrata | n × n | Θ(n³) | Θ(n²), oppure in place |
| Determinante via eliminazione | n × n | Θ(n³) | Θ(n²) |
Per matrici grandi esistono algoritmi asintoticamente più veloci e implementazioni che sfruttano cache e parallelismo; il prodotto triplo classico resta però il modello fondamentale da comprendere.
Errori comuni
- Moltiplicare elemento per elemento quando è richiesto il prodotto tra matrici.
- Controllare le dimensioni esterne invece di quelle interne: in AB devono coincidere colonne di A e righe di B.
- Scambiare l’ordine: AB rappresenta prima B e poi A, e quasi mai AB = BA.
- Interpretare det(A) = 0 come “matrice nulla”: significa invece che almeno una direzione viene collassata.
- Durante Gauss, applicare un’operazione soltanto ai coefficienti e non al termine noto.
Esercizi esplorativi
- Costruisci due matrici quadrate A e B e trova un esempio in cui AB ≠ BA. Segui la prima cella in entrambi gli ordini.
- Nel piano, prova matrici con determinante 2, −2 e 0. Confronta area, orientamento e rango geometrico.
- Crea un sistema in cui una riga sia il doppio di un’altra. Cambia soltanto il termine noto e osserva il passaggio da infinite a nessuna soluzione.
- Spiega perché le colonne di una matrice 2 × 2 con determinante zero non possono formare una base del piano.