Variabili aleatorie, varianza e distribuzioni

Probabilità · approfondimento

Variabili aleatorie e distribuzioni

Una distribuzione non è soltanto una formula: dice quali valori sono possibili, quanto sono plausibili e quanto tendono ad allontanarsi dal centro.

1. Dall'esito al numero: la variabile aleatoria

Una variabile aleatoria è una funzione $X : Ω \to ℝ$ che traduce ogni esito di un esperimento in un numero. “Aleatoria” non significa che la funzione cambi a caso: è casuale l'esito che le viene dato in ingresso.

Esempio discreto

Lanci due monete e poni $X =$ numero di teste. I valori possibili sono 0, 1 e 2, con probabilità $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ .

Esempio continuo

Il tempo di attesa di un autobus può assumere, almeno nel modello, qualunque valore reale non negativo. Le probabilità riguardano intervalli, non singoli punti.

Supporto

Il supporto è l'insieme dei valori che la variabile può assumere con massa o densità positiva. Conoscerlo evita calcoli privi di senso.

2. Tre modi per descrivere una distribuzione

Oggetto	Definizione	Come si usa
Funzione di massa	$p_{X} (x) = P (X = x)$	Per variabili discrete; le masse sommano a 1.
Densità	$f_{X} (x) \geq 0$ e area totale 1	$P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f_{X} (x) d x$ .
Funzione di ripartizione	$F_{X} (x) = P (X \leq x)$	Vale per ogni variabile; è non decrescente e va da 0 a 1.

La densità non è una probabilità. Può anche superare 1: è l'area sotto la curva su un intervallo a dover stare fra 0 e 1. Per una variabile continua

P (X = x) = 0

3. Valore atteso: il baricentro della distribuzione

Il valore atteso o media teorica pesa ogni valore con la sua probabilità. Descrive il centro di equilibrio della distribuzione, non necessariamente un valore osservabile: il numero medio di figli può essere 1,4, benché nessuna famiglia abbia 1,4 figli.

μ = 𝔼 [X] = \sum_{x} x p_{X} (x)

La media è lineare: $𝔼 [a X + b] = a 𝔼 [X] + b$ . Questa proprietà non richiede indipendenza.

4. Media, mediana, moda e quantili

Quando abbiamo una raccolta di dati, possiamo descriverne centro, posizione e dispersione. Queste misure non sono intercambiabili: ciascuna risponde a una domanda diversa.

Media aritmetica

$\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}$ . Usa tutti i valori ed è sensibile agli estremi. La media campionaria $\bar{x}$ può stimare la media teorica $μ = 𝔼 [X]$ .

Mediana

Ordinati i dati, è il valore centrale. Con un numero pari di osservazioni è la media dei due valori centrali. È robusta rispetto a valori estremi e asimmetrie.

Moda

È il valore più frequente. Può non esserci, oppure possono esserci più mode. È l'unica misura di centro utilizzabile anche per categorie non numeriche.

Media ponderata

$\bar{x} = \frac{\sum w_{i} x_{i}}{\sum w_{i}}$ . Serve quando osservazioni, voti o gruppi hanno pesi diversi; i pesi devono riferirsi alla stessa scala.

Quantili e quartili

Il quantile di ordine $q$ lascia alla propria sinistra circa la frazione $q$ dei dati. $Q_{1}$ , mediana e $Q_{3}$ corrispondono al 25%, 50% e 75%.

Campo e intervallo interquartile

Il campo di variazione è massimo meno minimo. L'intervallo interquartile $IQR = Q_{3} - Q_{1}$ misura la dispersione della metà centrale ed è meno sensibile agli estremi.

Quale centro usare? La media è naturale per dati abbastanza simmetrici; la mediana è spesso più informativa con code lunghe o valori anomali; la moda risponde alla domanda “qual è il valore più comune?”. Per i quantili esistono diverse convenzioni di calcolo, soprattutto con campioni piccoli.

5. Varianza e deviazione standard

Due distribuzioni possono avere la stessa media e comportarsi in modo molto diverso. La varianza misura la dispersione media dei valori intorno alla media, elevando al quadrato gli scarti per impedire che quelli positivi e negativi si annullino.

Var (X) = σ^{2} = 𝔼 [{(X - μ)}^{2}]

Unità di misura

La varianza è espressa nell'unità al quadrato; la deviazione standard torna nell'unità originale ed è quindi più facile da interpretare.

Trasformazioni

Aggiungere una costante sposta i valori ma non la dispersione. Moltiplicare per $a$ moltiplica la deviazione standard per $| a |$ e la varianza per $a^{2}$ .

Somme

$Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 Cov (X, Y)$ . Il termine di covarianza sparisce se le variabili sono indipendenti.

Popolazione o campione?

Se i dati sono l'intera popolazione, si divide per $N$ . Se sono un campione usato per stimare una popolazione, la varianza campionaria corretta divide per $n - 1$ : la correzione di Bessel compensa la tendenza a sottostimare la variabilità.

σ^{2} = \frac{\sum {(x_{i} - μ)}^{2}}{N}, s^{2} = \frac{\sum {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}{n - 1}

6. Laboratorio: riassumi e confronta i dati

Valori (separati da spazi, virgole o punto e virgola)

Per i decimali usa il punto, per esempio 2.5.

Numero di valori: 8
Media: 5
Mediana: 4,5
Moda: 4
Campo di variazione: 7
Intervallo interquartile: 2
Varianza (popolazione): 4
Deviazione standard: 2
Varianza campionaria: 4,571

Gli scarti quadratici più grandi pesano molto: i valori 2 e 9 contribuiscono più dei valori vicini a 5.

7. Standardizzazione e punteggio z

Il punteggio standardizzato dice quante deviazioni standard separano un valore dalla media:

z = \frac{x - μ}{σ}

Un valore con $z = 1.5$ si trova 1,5 deviazioni standard sopra la media. Standardizzare produce una variabile con media 0 e varianza 1, quando media e varianza esistono e $σ > 0$ . Non implica però che la distribuzione diventi normale.

8. Distribuzioni notevoli

Distribuzione	Modello e supporto	Funzione	Media; varianza
Bernoulli $Ber (p)$	Un successo/insuccesso; ${0, 1}$	$P (X = 1) = p$	$p; p (1 - p)$
Binomiale $Bin (n, p)$	Successi in $n$ prove indipendenti; $k = 0, \dots, n$	$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$	$n p; n p (1 - p)$
Geometrica $Geo (p)$	Prove fino al primo successo; $k \geq 1$	$p {(1 - p)}^{k - 1}$	$\frac{1}{p}; \frac{1 - p}{p^{2}}$
Poisson $Pois (λ)$	Conteggi con tasso medio costante; $k \geq 0$	$e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!}$	$λ; λ$
Uniforme $U (a, b)$	Tutti gli intervalli di uguale lunghezza sono equiprobabili; $[a, b]$	$f (x) = \frac{1}{b - a}$	$\frac{a + b}{2}; \frac{{(b - a)}^{2}}{12}$
Esponenziale $Exp (λ)$	Attesa fra eventi di Poisson; $x \geq 0$	$λ e^{- λ x}$	$\frac{1}{λ}; \frac{1}{λ^{2}}$
Normale $N (μ, σ^{2})$	Somme di molti piccoli effetti; $x \in ℝ$	$\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}$	$μ; σ^{2}$

Le ipotesi sono parte del modello. Una binomiale richiede un numero fisso di prove con la stessa probabilità di successo e indipendenza; una Poisson richiede un tasso stabile e occorrenze indipendenti. Una forma somigliante non basta.

Vedi esempi concreti e simulazioni delle distribuzioni →

9. Laboratorio: osserva i parametri

Distribuzione

Numero di prove n: 10

Probabilità p: 0,5

Media: 5
Varianza: 2,5
Deviazione standard: 1,581

La binomiale conta i successi in un numero fisso di prove indipendenti.

10. Come scegliere una distribuzione

Che cosa misuro?Esito sì/no → Bernoulli; numero di successi su prove fissate → binomiale; numero di eventi in un intervallo → Poisson; tempo d'attesa → geometrica o esponenziale.
Il supporto è compatibile?Un conteggio non può essere negativo; una probabilità non può superare 1; una normale ammette formalmente tutti i reali e può essere inadatta vicino a un limite fisico.
Quali ipotesi sto facendo?Controlla indipendenza, probabilità o tasso costante, numero di prove fissato e natura discreta o continua.
I parametri che cosa significano?Scrivili nelle unità del problema. Nella normale il secondo parametro è spesso la varianza $σ^{2}$ , non la deviazione standard.

11. Esercizi con soluzione

Media, mediana e moda

Considera i dati 2, 3, 3, 4, 18. Calcola media, mediana e moda. Quale misura descrive meglio un valore tipico?

Mostra soluzione

La media è 6, la mediana è 3 e la moda è 3. Il valore 18 trascina la media verso l'alto; in questo piccolo insieme asimmetrico mediana e moda rappresentano meglio il centro dei dati.

Stessa media

Confronta i dati 4, 5, 5, 6 e 1, 3, 7, 9. Quale insieme ha varianza maggiore?

Mostra soluzione

Entrambi hanno media 5. Le varianze della popolazione sono rispettivamente 0,5 e 10: il secondo insieme è molto più disperso.

Trasformazione

Una variabile ha media 8 e deviazione standard 3. Trova media e deviazione standard di $Y = - 2 X + 5$ .

Mostra soluzione

$𝔼 [Y] = - 11$ . La deviazione standard viene moltiplicata per $| - 2 |$ , quindi vale 6.

Scelta del modello

Conti le email che arrivano in ogni ora, assumendo un tasso stabile e arrivi indipendenti. Quale modello è naturale?

Mostra soluzione

Una Poisson per il conteggio orario. Se studiassi il tempo fra due email, il modello collegato sarebbe l'esponenziale.

Punteggio z

Un risultato è 74 in una distribuzione con media 50 e deviazione standard 12. Qual è il suo punteggio z?

Mostra soluzione

$z = \frac{74 - 50}{12} = 2$ : il risultato è due deviazioni standard sopra la media.