Distribuzioni di probabilità nella pratica

La stessa formula può essere adatta a tiri liberi, telefonate o tempi di attesa. La parte decisiva è riconoscere che cosa si conta e quali ipotesi rendono plausibile il modello.

1. Parti dalla domanda, non dalla formula

Un esito sì/no?

Una singola prova suggerisce Bernoulli; il numero di successi in più prove suggerisce la binomiale.

Un conteggio nel tempo o nello spazio?

Poisson è un candidato se gli eventi avvengono indipendentemente con un tasso medio stabile.

Quanto bisogna aspettare?

Geometrica per un numero discreto di tentativi; esponenziale per un tempo continuo fra eventi di Poisson.

Una misura continua e simmetrica?

La normale può essere ragionevole quando molti piccoli effetti indipendenti si sommano, ma va controllata rispetto ai limiti fisici.

Un modello è un'approssimazione. Prima di calcolare, verifica supporto, indipendenza, stabilità dei parametri e meccanismo che genera i dati. Il semplice fatto che un istogramma “assomigli” a una curva non basta.

2. Casi concreti: distribuzioni discrete

Bernoulli

Controllo qualità di un componente

Un componente scelto a caso è difettoso con probabilità 3%. Poni $X = 1$ se è difettoso e 0 altrimenti.

X \sim Ber (0.03), P (X = 1) = 0.03

Ipotesi: ogni pezzo viene classificato in due sole categorie. Se controlli 100 pezzi e vuoi contarne i difettosi, passi alla binomiale.

Binomiale

Tiri liberi nel basket

Un giocatore effettua 10 tiri indipendenti e segna ciascuno con probabilità 0,7. Qual è la probabilità di segnare esattamente 8 volte?

P (X = 8) = (\binom{10}{8}) {0.7}^{8} {0.3}^{2} \approx 0.2335

Ipotesi: numero di tiri fissato, stessa probabilità e indipendenza. Fatica o apprendimento possono rendere il modello inadeguato.

Geometrica

Tentativi fino al primo collegamento

Ogni tentativo di collegarsi a un servizio riesce con probabilità 0,2. La probabilità che il primo successo arrivi al quarto tentativo è:

P (X = 4) = {0.8}^{3} \cdot 0.2 = 0.1024

Occorrono tre insuccessi seguiti da un successo. La distribuzione è senza memoria, ma solo se i tentativi restano indipendenti e con la stessa probabilità.

Poisson

Telefonate a un centralino

Arrivano in media 3 chiamate ogni dieci minuti. Con tasso stabile e arrivi indipendenti, la probabilità di riceverne esattamente 5 è:

P (X = 5) = e^{- 3} \frac{3^{5}}{5!} \approx 0.1008

“Tre in media” non significa tre in ogni intervallo. Se il tasso cambia durante la giornata, serve un modello non omogeneo o una suddivisione in fasce.

3. Casi concreti: distribuzioni continue

Uniforme

Attesa di un autobus

Un autobus passa esattamente ogni 12 minuti e arrivi alla fermata in un istante casuale. Nel modello uniforme $X \sim U (0, 12)$ .

P (X \leq 3) = \frac{3}{12} = 0.25

L'ipotesi richiede puntualità e un orario di arrivo del passeggero non sincronizzato con quello dell'autobus.

Esponenziale

Durata di un componente

Un componente ha vita media 1000 ore e un tasso di guasto costante, quindi $λ = 0.001$ all'ora. La probabilità che duri oltre 500 ore è:

P (T > 500) = e^{- 0.001 \cdot 500} = e^{- 0.5} \approx 0.6065

Un tasso costante implica assenza di invecchiamento. Per componenti che si usurano questa ipotesi può essere poco realistica.

Normale

Altezze in una popolazione

Supponi che un'altezza sia approssimativamente normale con media 175 cm e deviazione standard 7 cm. L'intervallo 168–182 cm è $μ \pm σ$ .

P (168 \leq X \leq 182) \approx 0.6827

La regola 68–95–99,7 vale per una normale. Non va applicata automaticamente a ogni insieme di dati con media e deviazione standard note.

4. Laboratorio: dal modello binomiale agli esperimenti

Modifica il numero di tiri, la probabilità di successo e il risultato osservato. Le barre chiare mostrano le probabilità teoriche; dopo la simulazione, i contorni mostrano le frequenze ottenute in 1000 serie.

Tiri

n

: 10

Probabilità

p

: 0,7

Successi osservati

k

: 7

Valore atteso: 7
Probabilità teorica di k: 26,68%
Frequenza simulata di k: —

Premi “Simula 1000 serie” per confrontare teoria ed esperimento.