Probabilità: formulario ragionato

Probabilità: una guida ragionata

La probabilità non è soltanto contare casi favorevoli: è un linguaggio rigoroso per descrivere l'incertezza, aggiornare informazioni e studiare fenomeni casuali.

1. Esperimenti, esiti ed eventi

Spazio campionario

$Ω$ è l'insieme di tutti gli esiti possibili. Per un dado: $Ω = {1, 2, \dots, 6}$ .

Evento

È un sottoinsieme $A \subseteq Ω$ . Si verifica quando l'esito appartiene ad $A$ .

Operazioni

$A \cup B$ : almeno uno; $A \cap B$ : entrambi; $A^{c}$ : non $A$ .

Modellare viene prima di calcolare. Specifica sempre esperimento, spazio campionario ed eventi. La formula “casi favorevoli su casi possibili” vale solo quando gli esiti sono finiti ed equiprobabili.

2. Assiomi e regole fondamentali

Una probabilità assegna a ogni evento un numero tra 0 e 1 e soddisfa gli assiomi di Kolmogorov:

P (A) \geq 0, P (Ω) = 1

Regola	Formula
Complementare	$P (A^{c}) = 1 - P (A)$
Unione	$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
Monotonia	Se $A \subseteq B$ , allora $P (A) \leq P (B)$ .

3. Calcolo combinatorio

Situazione	Numero di scelte	Domanda guida
Principio di moltiplicazione	$n_{1} n_{2} \dots n_{k}$	Quante scelte successive?
Permutazioni	$n!$	Uso tutti gli oggetti; l'ordine conta.
Disposizioni senza ripetizione	$\frac{n!}{(n - k)!}$	Scelgo $k$ oggetti; l'ordine conta.
Combinazioni	$(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$	Scelgo $k$ oggetti; l'ordine non conta.
Sequenze con ripetizione	$n^{k}$	Ogni posizione ha $n$ possibilità.

Con esiti equiprobabili, $P (A) = \frac{| A |}{| Ω |}$ . Prima di contare, chiediti sempre se ordine e ripetizione contano.

4. Probabilità condizionata

Sapere che $B$ è avvenuto restringe lo spazio degli esiti:

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}, P (B) > 0

Da qui segue la regola del prodotto:

P (A \cap B) = P (A | B) P (B)

Per più eventi, applicala in catena. Gli alberi di probabilità sono spesso il modo più sicuro di rappresentare la sequenza.

5. Probabilità totale e teorema di Bayes

Se $H_{1}, \dots, H_{n}$ formano una partizione di $Ω$ , allora

P (E) = \sum_{i = 1}^{n} P (E | H_{i}) P (H_{i})

Bayes combina una probabilità a priori con l'evidenza osservata per produrre una probabilità a posteriori. Nei test diagnostici, non confondere

P (positivo | malato)

con

P (malato | positivo)

: la prevalenza conta.

6. Indipendenza

Due eventi sono indipendenti se

P (A \cap B) = P (A) P (B)

Se $P (B) > 0$ , equivale a $P (A | B) = P (A)$ .
Indipendenti non significa disgiunti. Eventi disgiunti con probabilità positiva non sono indipendenti.
L'indipendenza a coppie non implica necessariamente l'indipendenza congiunta di tre o più eventi.

7. Variabili aleatorie

Una variabile aleatoria è una funzione $X : Ω \to ℝ$ che associa un numero a ogni esito.

Discreta

Assume valori numerabili. La massa $p_{X} (x) = P (X = x)$ soddisfa $\sum_{x} p_{X} (x) = 1$ .

Continua

Ha densità $f_{X}$ con $P (a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f_{X} (x) d x$ . Per ogni singolo punto, $P (X = x) = 0$ .

Funzione di ripartizione

$F_{X} (x) = P (X \leq x)$ . Esiste per qualunque variabile aleatoria ed è non decrescente.

Approfondimento: varianza e distribuzioni

Media, mediana, moda, varianza e deviazione standard meritano più spazio di un formulario. Nella guida dedicata trovi le definizioni passo per passo, il confronto fra varianza della popolazione e varianza campionaria, la standardizzazione e un catalogo ragionato delle distribuzioni più comuni.

Prova gli esempi interattivi. Puoi cambiare un insieme di dati e vedere come si muovono media e dispersione, oppure modificare i parametri di una distribuzione e osservarne la forma.

Vai a variabili aleatorie e distribuzioni →

8. Legge dei grandi numeri e teorema centrale del limite

Legge dei grandi numeri

Per osservazioni indipendenti e identicamente distribuite con media $μ$ , la media campionaria ${\bar{X}}_{n}$ converge a $μ$ . La frequenza si stabilizza, non significa che i singoli esiti “si compensino subito”.

Teorema centrale del limite

Se la varianza è finita, la somma standardizzata tende a una normale: $\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i} - n μ}{σ \sqrt{n}} \Rightarrow N (0, 1)$ .

La legge dei grandi numeri riguarda la convergenza della media; il teorema centrale del limite descrive la forma approssimata delle sue fluttuazioni. Sono risultati diversi.

9. Metodo di soluzione ed errori comuni

Definisci chiaramente spazio campionario, eventi e ciò che viene richiesto.
Chiediti se gli esiti sono davvero equiprobabili; in caso contrario assegna le probabilità corrette.
Per “almeno uno” prova il complementare; per sequenze usa un albero; per informazioni aggiornate pensa a Bayes.
Se conti, decidi prima se ordine e ripetizione contano.
Non assumere indipendenza solo perché semplifica i calcoli.
Controlla che le probabilità siano tra 0 e 1 e che una distribuzione sommi o integri a 1.
Distingui sempre probabilità teorica, frequenza osservata e stima statistica.

10. Esercizi con soluzione

1. Complementare

Lanci quattro volte una moneta equa. Qual è la probabilità di ottenere almeno una testa?

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Il complementare è “nessuna testa”: $1 - {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{15}{16}$ .

2. Combinazioni

Da 10 persone si sceglie una commissione di 3. Quante commissioni diverse?

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L'ordine non conta: $(\binom{10}{3}) = 120$ .

3. Condizionata

Da un mazzo italiano di 40 carte estrai una carta. Sapendo che è una figura, qual è la probabilità che sia un re?

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Le figure sono 12 e i re 4: $P (re | figura) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ .

4. Bayes

Una condizione riguarda l'1% delle persone. Un test ha sensibilità 99% e falsi positivi 5%. Quanto vale circa la probabilità della condizione dopo un risultato positivo?

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$\frac{0.99 \cdot 0.01}{0.99 \cdot 0.01 + 0.05 \cdot 0.99} \approx 0.167$ , cioè circa 16,7%.

5. Binomiale

Un giocatore segna con probabilità 0,7 per tiro, indipendentemente. Qual è la probabilità di segnare esattamente 3 volte su 5?

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$(\binom{5}{3}) {0.7}^{3} {0.3}^{2} = 0.3087$ .

6. Media e varianza

Se $𝔼 [X] = 4$ e $Var (X) = 9$ , trova media e varianza di $Y = 2 X - 1$ .

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$𝔼 [Y] = 7$ e $Var (Y) = 4 \cdot 9 = 36$ .

Prima dell'università: che cosa padroneggiare

Insiemi, sommatorie, fattoriali, coefficienti binomiali e integrali elementari.
Probabilità condizionata, indipendenza, probabilità totale e Bayes.
Passaggio tra descrizione verbale, eventi, formule e diagrammi ad albero.
Distribuzioni discrete e continue, funzione di ripartizione, media e varianza.
Capacità di riconoscere ipotesi nascoste e di motivare ogni modello.

All'università la teoria verrà costruita su spazi di probabilità e, nei corsi più rigorosi, sulla teoria della misura. Questa pagina fornisce la grammatica operativa; dimostrazioni, convergenze e inferenza statistica saranno il passo successivo.